公设2：演化 孤立的物理系统的演化可以用一个酉算子来刻画。

具体地，设系统在时刻所处状态为，在时刻所处状态为，则它们可以通过一个仅依赖于和的酉算子U联系：

酉算子是指满足的线性算子，是正交矩阵在复数域上的推广。

二维希尔伯特空间上最常用的酉变换（也称量子门）就是泡利矩阵：

公设3：测量 量子测量可以由一组测量算子的集合所描述，每个测量算子表示可能的一组测量结果，并满足完备性关系。若测量前系统状态为，则测量结果为m的概率为

且测量后系统的状态塌缩为

其中完备性关系的存在意义是保证各个测量结果出现的概率之和为1。

量子测量的一个重要特例是投影测量，它要求测量算子均为投影算子。结合投影算子的性质与谱分解理论，其完整定义如下:

投影测量由一个厄密算子所描述，设其谱分解形式为，则若测量前系统状态为，则测量结果为m的概率为

且测量后系统的状态塌缩为

厄密算子也称为可观测量。

投影测量有许多良好性质，首要的便是其具有更现实的物理含义。特别地，投影测量的平均值非常整洁易算：

通常将写作。另外，虽然投影测量是公设3的特殊情况，但若考虑公设2中描述的演化过程，投影测量的表达能力将等同于一般量子测量。

公设4：复合 复合物理系统的状态空间是子物理系统状态空间的张量积。即若有n个子系统，且系统i的状态向量为，则复合系统的联合状态为。

在考虑复合物理系统时，若要对其中一个子系统施加某个线性算子，相当于对整个复合物理系统施加线性算子，其中是其他子系统上的单位算子。

例如，考虑两量子比特系统的状态，对两个量子比特各施加变换将得到

其中是的简写形式，并且规定称其中靠左的比特为高位比特，靠右的比特为高位比特。

经典计算机信息的基本单元是比特，比特是一种有两个状态的物理系统，用0与1表示。在量子计算机中，基本信息单位是量子比特（qubit），用两个量子态│0>和│1>代替经典比特状态0和1。量子比特相较于比特来说，有着独特的存在特点，它以两个逻辑态的叠加态的形式存在，这表示的是两个状态是0和1的相应量子态叠加。 周围环境微小的扰动，如温度、压力或磁场变化，都会破坏量子比特。

现代量子计算机模型的核心技术便是态叠加原理，属于量子力学的一个基本原理。一个体系中，每一种可能的运动方式就被称作态。在微观体系中，量子的运动状态无法确定，呈现统计性，与宏观体系确定的运动状态相反。量子态就是微观体系的态。

量子纠缠：当两个粒子互相纠缠时，一个粒子的行为会影响另一个粒子的状态，此现象与距离无关，理论上即使相隔足够远，量子纠缠现象依旧能被检测到。因此，当两粒子中的一个粒子状态发生变化，即此粒子被操作时，另一个粒子的状态也会相应的随之改变。

量子并行计算是量子计算机能够超越经典计算机的最引人注目的先进技术。量子计算机以指数形式储存数字，通过将量子位增至300个量子位就能储存比宇宙中所有原子还多的数字，并能同时进行运算。函数计算不通过经典循环方法，可直接通过幺正变换得到，大大缩短工作损耗能量，真正实现可逆计算。

20世纪80年代初期，Benioff首先提出了量子计算的思想，他设计一台可执行的、有经典类比的量子Turing机——量子计算机的雏形。

1982年，Feynman发展了Benioff的设想，提出量子计算机可以模拟其他量子系统。为了仿真模拟量子力学系统，Feynman提出了按照量子力学规律工作计算机的概念，这被认为是最早量子计算机的思想。

1985年，牛津大学的David Deutsch在发表的论文中，证明了任何物理过程原则上都能很好地被量子计算机模拟，并提出基于量子干涉的计算机模拟即“量子逻辑门”这一新概念，并指出量子计算机可以通用化、量子计算错误的产生和纠正等问题。由Zurek作了深入的分析和研究。但到了20世纪80年代中期，这一研究领域由于若干原因被冷落了。首先，因为当时所有的量子计算机模型都是把量子计算机看成是一个不与外界环境发生作用的孤立系统，而不是实际模型。其次，存在许多不利于实现量子计算机的制约因素，如Landauer指出的去相干、热噪声等等。另外，量子计算机可能易出错，而且不易纠错。最后，还不清楚量子计算机解决数学问题是否比经典计算快。

1994年，AT&T公司的Perer Shor博士发现了因子分解的有效量子算法。1996年，S.Loyd证明了Feynman的猜想，他指出模拟量子系统的演化将成为量子计算机的一个重要用途，由此量子计算机可以建立在量子图灵机的基础上，高效地解决电子计算机无法在多项式时间内解决的问题。

从此，随着计算机科学和物理学间跨学科研究的突飞猛进，量子计算的理论和实验研究蓬勃发展，各国政府和各大公司也纷纷制定了针对量子计算机的一系列研究开发计划。美国的高级研究计划局先后于2002年12月和2004年4月制定了一个名为“量子信息科学和技术发展规划”的研究计划的1.0版以及2.0版，该计划详细介绍了美国发展量子计算的主要步骤和时间表。日本于2000年10月开始为期5年的量子计算与信息计划，重点研究量子计算和量子通讯的复杂性、设计新的量子算法、开发健壮的量子电路、找出量子自控的有用特性以及开发量子计算模拟器 。欧洲在量子计算及量子加密方面也作了积极的研究开发，在德国总理默克尔推动下，德国政府投入20亿欧元在德国和欧洲推广量子技术，默克尔认为，“毫无疑问，量子计算机是德国高科技地位的光辉展示。世界上其他地方都在这个领域努力奋进。”

2007年，加拿大DWave公司成功研制出一台具有16量子比特的“猎户星座”量子计算机，并于2008年2月13日和2月15日分别在美国加州和加拿大温哥华展示他们的量子计算机。

2009年11月15日，美国国家标准技术研究院研制出可处理两个量子比特数据的量子计算机。

2015年6月22日，D-wave宣布其突破了1000量子位的障碍、开发出了一种新的处理器，其量子位为上一代D-Wave处理器的两倍左右，并远超D-Wave或其他任何同行开发的产品的量子位 。

2017年3月6日，IBM宣布将于年内推出全球首个商业“通用”量子计算服务IBM。IBM表示，此服务配备有直接通过互联网访问的能力，在药品开发以及各项科学研究上有着变革性的推动作用，已开始征集消费用户。除了IBM，其他公司还有英特尔、谷歌以及微软等，也在实用量子计算机领域进行探索。

2017年5月3日，中国科学院潘建伟团队构建的光量子计算机实验样机计算能力已超越早期计算机。此外，中国科研团队完成了10个超导量子比特的操纵，成功打破了当时世界上最大位数的超导量子比特的纠缠和完整的测量的记录。

2020年6月18日，中国科学院宣布，中国科学技术大学潘建伟、苑震生等在超冷原子量子计算和模拟研究中取得重要进展——在理论上提出并实验实现原子深度冷却新机制的基础上，在光晶格中首次实现了1250对原子高保真度纠缠态的同步制备，为基于超冷原子光晶格的规模化量子计算与模拟奠定了基础。这一成果19日在线发表于学术期刊《科学》上。

2020年6月18日，中国科学院宣布，中国科学技术大学潘建伟、苑震生等在超冷原子量子计算和模拟研究中取得重要进展——在理论上提出并实验实现原子深度冷却新机制的基础上，在光晶格中首次实现了1250对原子高保真度纠缠态的同步制备，为基于超冷原子光晶格的规模化量子计算与模拟奠定了基础。这一成果19日在线发表于学术期刊《科学》上。

2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法高斯玻色取样只需200秒，而当时世界最快的超级计算机要用6亿年。这一突破使中国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家。12月4日，国际学术期刊《科学》发表了该成果，审稿人评价这是“一个最先进的实验”“一个重大成就” 。

2021年2月8日，中科院量子信息重点实验室的科技成果转化平台合肥本源量子科技公司，发布具有自主知识产权的量子计算机操作系统“本源司南” 。

2021年7月27日，东京大学与日本IBM宣布，商用量子计算机已开始投入使用，这在日本属于首次。

2021年11月15日，据英国《新科学家》杂志网站报道，IBM公司宣称，其已经研制出了一台能运行127个量子比特的量子计算机“鹰”，这是迄今全球最大的超导量子计算机。

2022年1月，德国于利希研究中心(Forschungszentrum Jülich)启动了拥有超过5000个量子位元的量子计算机，是欧洲量子计算机发展的一个重要里程碑。该台超级量子计算机由加拿大量子计算系统供应商D-Wave公司制造。

2022年6月9日，英国国防部称获得政府首台量子计算机。英国国防部表示将与英国量子计算机开发商Orca Computing共同合作，探索量子技术在国防领域的应用。

2022年8月9日，据共同社报道，日本分子科学研究所的团队实现了量子计算机“双量子位门”中的全球最高速，比谷歌公司此前的世界纪录快1倍以上，为6.5纳秒（纳秒是10亿分之一秒）。

2022年8月25日，“量见未来”量子开发者大会上，百度正式对外发布其第一台产业级超导量子计算机——“乾始”，集量子硬件、量子软件、量子应用于一体，提供移动端、PC端、云端等在内的全平台使用方式。

2022年11月，来自芬兰和欧洲量子计算公司IQM的科学家研制出了一种新的超导量子比特“独角兽”，并以99.9%的置信度利用“独角兽”实现了量子逻辑门。这是构建商用量子计算机的重大里程碑，有望推动量子计算机的应用 。

2023年5月25日，北京量子信息科学研究院在2023中关村论坛正式发布Quafu（夸父）量子计算云平台，现上线了三枚超导量子芯片，分别有136、18和10个量子比特，用户可以自主选择合适的芯片运行量子计算任务，其运行稳定高效。

2023年10月11日，中国科学家宣布成功构建量子计算原型机“九章三号”，它1微秒可算出的最复杂样本，当前全球最快的超级计算机约需200亿年才能完成。“九章三号”实现了对255个光子的操纵能力，极大提升了计算的复杂度。

2023年12月4日，美国国际商用机器公司（IBM）正式推出了第三代量子芯片Heron，以及基于Heron的IBM量子系统2（IBM Quantum System Two），这是世界上第一台模块化的实用量子计算机，虽仅拥有133个量子比特，但错误率却创下了历史新低，比其之前的量子处理器低三倍。 而同时发布的另一名为Condor的芯片拥有1,121个超导量子比特，呈蜂巢状排列，突破了芯片设计的规模和产量极限。

2023年12月，美国波士顿量子计算初创公司QuEra建造的新型量子计算机问世，其刷新了逻辑量子比特数的记录——达到48个。逻辑量子比特比基于物理量子比特的系统更可控，能更好地纠正量子计算中的错误。尽管目前运行的测试比实际应用要简单，但这无疑是相关研究向前迈出的重要一步。

2024年1月6日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”上线运行。“悟空”搭载了72位自主超导量子芯片“悟空芯”，共有198个量子比特，其中包含72个工作量子比特和126个耦合器量子比特，是目前先进的可编程、可交付超导量子计算机。

量子计算机的研究难点主要集中在以下几个方面。这些难点相互交织，使得量子计算的研究和发展需要跨学科的合作和创新，涉及物理学、计算机科学、材料科学、电子工程等多个领域：

量子比特（qubits）是量子计算的基本单位，需要稳定、可控并且具有长的相干时间。

实现高质量的量子比特非常困难，因为它们对环境的干扰非常敏感，容易产生噪声和错误。

由于量子比特容易受噪声影响，量子计算需要高效的纠错机制来保证计算的准确性。

经典计算机通过重复和纠错码来处理错误，但量子纠错需要更加复杂的方法，如表面码（surface code）等。

量子纠缠是量子计算的核心资源，维持量子纠缠态的稳定性非常困难，因为量子态之间的纠缠很容易被环境中的热噪声和其他干扰破坏。

目前有多种物理体系可以用来实现量子计算，如超导电路、离子阱、拓扑量子计算、光子量子计算等。各种实现方式都有其独特的优势和挑战，选择适合的物理体系并加以改进是关键。

要实现实用的量子计算，需要将数千甚至上百万的量子比特集成在一起，并进行有效的控制和通信。现有技术在大规模集成和相互连接上还存在很大瓶颈。

量子计算机拥有强大的量子信息处理能力，对于海量的信息，能够从中提取有效的信息进行加工处理使之成为新的有用的信息。量子信息的处理先需要对量子计算机进行储存处理，之后再对所给的信息进行量子分析。运用这种方式能准确预测天气状况，目前计算机预测的天气状况的准确率达75%，但是运用量子计算机进行预测，准确率能进一步上升，更加方便人们的出行。

传统的计算机通常会受到病毒的攻击，直接导致电脑瘫痪，还会导致个人信息被窃取，但是量子计算机由于具有不可克隆的量子原理这些问题不会存在，在用户使用量子计算机时能够放心地上网，不用害怕个人信息泄露。另一方面，量子计算机拥有强大的计算能力，能够同时分析大量不同的数据，所以在金融方面能够准确分析金融走势，在避免金融危机方面起到很大的作用；在生物化学的研究方面也能够发挥很大的作用，可以模拟新的药物的成分，更加精确地研制药物和化学用品，这样就能够保证药物的成本和药物的药性。

量子计算机理论上具有模拟任意自然系统的能力，同时也是发展人工智能的关键。由于量子计算机在并行运算上的强大能力，使它有能力快速完成经典计算机无法完成的计算。这种优势在加密和破译等领域有着巨大的应用。

如果我们使用量子计算机在同一时间对于所有的信息进行分析，并得出结果，那么我们就可以得知天气变化的精确走向，从而避免大量的经济损失。

量子计算机对于研制新的药物也有着极大的优势，量子计算机能描绘出万亿计的分子组成，并且选择出其中最有可能的方法，这将提高人们发明新型药物的速度，并且能够更个性化的对于药理进行分析。

量子计算机可以根据现有的交通状况预测交通状况，完成深度的分析，进行交通调度和优化。

不仅仅是对于我们生活相近的方面，量子计算机对于加密通信由于其不可克隆原理，将会使得入侵者不能在不被发现的情况下进行破译和窃听，这是量子计算机本身的性质决定的。

当地时间2022年6月9日，英国国防部宣布，获得政府首台量子计算机。

2022年8月25日，“量见未来”量子开发者大会上，百度正式对外发布其第一台产业级超导量子计算机——“乾始”，集量子硬件、量子软件、量子应用于一体，提供移动端、PC端、云端等在内的全平台使用方式。

2022年10月4日，欧洲高性能计算联合企业（EuroHPC JU）宣布，将选择捷克、德国、西班牙、法国、意大利、波兰六个成员国来部署史上第一个欧洲量子计算机网络，它将整合这六个国家现有的超级计算机，形成一个量子计算网络，于2023年下半年投入使用。

2022年10月，首个量子可扩展算法面世。该研究在量子计算机上揭示了强关联电子系统的重要特性，有望催生更高效的太阳能电池。

2023年2月12日，本源量子的4台“中国造”量子计算机亮相安徽合肥，并首次向中国公民免费开放参观。

2023年3月9日，据日本东京电视台报道，日本理化学研究所开发的第一台日本国产量子计算机将于3月27日投入使用。

2024年1月，安徽省量子计算工程研究中心与量子计算芯片安徽省重点实验室获悉，中国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”今天上线运行。

2024年7月，浙江大学物理学院宋超、王浩华研究组与清华大学邓东灵研究组合作，首次在超导量子芯片上实现了斐波那契任意子的模拟，并成功对其进行了编织操作。

2024年4月10日，安徽省量子计算工程研究中心消息，中国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”成功装备国内首个PQC“抗量子攻击护盾”——PQC（Post Quantum Cryptography，后量子密码）混合加密方法。这将使“本源悟空”更好抵御其他量子计算机的攻击，确保运行数据安全。