非线性系统状态演变的形式

设状态矢量N=[n1, n2, …，nr]，网络的输出矢量为A=[a1，a2…，ar] ，

在一个r维状态空间上，可以用一条轨迹来描述状态变化情况。

从初始值N(t0)出发， N(t0+Δt)→N(t0+2Δt)→…→N(t0+mΔt)，这些在空间上的点组成的确定轨迹，是演化过程中所有可能状态的集合，我们称这个状态空间为相空间。

对于DHNN，因为N(t)中每个值只可能为±1，或{0，1}，对于确定的权值wij，其轨迹是跳跃的阶梯式，如图中A所示。

对于CHNN，因为f(·)是连续的，因而，其轨迹也是连续的。如图3的B、C所示。

在Hopfield网络中，由于反馈的存在，对于不同的连接权值wij和输入Pj(i, j=1, 2, … r)，反馈网络状态轨迹可能出现以下几种情况：（1）渐进稳定；（2）极限环；（3）混沌现象；（4）状态轨迹发散；

(1)状态轨迹为稳定点

状态轨迹从系统在t0时状态的初值N(t0)开始，经过一定的时间t(t>0)后，到达N(t0+t)。如果N(t0+t+Δt)=N(t0+t)，Δt>0，则状态N(t0+t)称为网络的稳定点，或平衡点。

即反馈网络从任一初始态P(0)开始运动，若存在某一有限时刻t，从t以后的网络状态不再发生变化：P(t+Δt)= P(t)，Δt>0，则称该网络是稳定的。

处于稳定时的网络状态叫做稳定状态，又称为定吸引子。

在一个反馈网络中，存在很多稳定点，根据不同情况，这些稳定点可以分为：

1)渐近稳定点：如果在稳定点Ne周围的N(σ)区域内，从任一个初始状态N(t0)出发的每个运动，当t→∞时都收敛于Ne，则称Ne为渐近稳定点。

2)不稳定平衡点Nen：在某些特定的轨迹演化过程中，网络能够到达稳定点Nen，但对于其它方向上的任意一个小的区域N(σ)，不管N(σ)取多么小，其轨迹在时间t以后总是偏离Nen；

3)网络的解：如果网络最后稳定到设计人员期望的稳定点，且该稳定点又是渐近稳定点，那么这个点称为网络的解；

4)网络的伪稳定点：网络最终稳定到一个渐近稳定点上，但这个稳定点不是网络设计所要求的解，这个稳定点为伪稳定点。

(2)状态轨迹为极限环

如果在某些参数的情况下，状态N(t)的轨迹是一个圆，或一个环，状态N(t)沿着环重复旋转，永不停止，此时的输出A(t)也出现周期变化，即出现振荡，如图6．4中C的轨迹即是极限环出现的情形。

对于DHNN，轨迹变化可能在两种状态下来回跳动，其极限环为2。如果在r种状态下循环变化，称其极限环为r。

(3)混沌现象

如果状态N(t)的轨迹在某个确定的范围内运动，但既不重复，又不能停下来，状态变化为无穷多个，而轨迹也不能发散到无穷远，这种现象称为混沌(chaos)。

在出现混沌的情况下，系统输出变化为无穷多个，并且随时间推移不能趋向稳定，但又不发散。

(4) 状态轨迹发散

如果状态N(t)的轨迹随时间一直延伸到无穷远，此时状态发散，系统的输出也发散。

在人工神经网络中，由于输入、输出激活函数上一个有界函数，虽然状态N(t)是发散的，但其输出A(t)还是稳定的，而A（t）的稳定反过来又限制了状态的发散。

一般非线性人工神经网络中发散现象是不会发生的，除非神经元的输入输出激活函数是线性的。

Hopfield网络的稳定性可用能量函数进行分析。人工神经网络常利用渐进稳定点来解决某些问题。例如，如果把系统的稳定点视为一个记忆的话，那么从初态朝这个稳定点的演变过程就是寻找记忆的过程。初态可以认为是给定的有关记忆的部分信息。如果把系统的稳定点视为一个能量函数的极小点，把能量函数视为一个优化问题的目标函数，那么从初态朝这个稳定点的演变过程就是一个求该优化问题的过程。这样的优点在于它的解并不需要真的去计算，而只要构成这种反馈网络，适当的设计其连接值和输入就可达到目的。

离散型的 Hopfield神经网络

网络结构及I/O关系

两种工作方式

DHNN主要有以下两种工作方式：

（1）串行工作方式 在某一时刻只有一个神经元按照上式改变状态，而其它神经元的输出不变。这一变化的神经元可以按照随机的方式或预定的顺序来选择。

这种更新方式的特点是：

实现上容易，每个神经元有自己的状态更新时刻，不需要同步机制； 功能上的串行状态更新可以限制网络的输出状态，避免不同稳态等概率的出现；

异步状态更新更接近实际的生物神经系统的表现。

（2）并行工作方式 在某一时刻有N个神经元按照上式改变状态，而其它的神经元的输出不变。变化的这一组神经元可以按照随机方式或某种规则来选择。当N=n时，称为全并行方式。对于权值设计要求较高。

DHNN的稳定性与吸引子

网络达到稳定时的状态，称为网络的吸引子。非线性系统的稳定点。

Hopfield网络自提出后，被认为是一种最典型的全反馈网络，可以看作一种非线性的动力学系统 。 网络状态的变化，是一种在超立方体中的自由运动状态，1892年， Lyapunov(李雅普诺夫)提出了关于稳定性概念的基本理论，并被称为Lyapunov定理。

关于吸引子的吸引域：

1，弱吸引域定义：若Xa是吸引子，对于异步方式，若存在一个调整次序，使网络可以从状态X演变到Xa，则称X弱吸引到Xa；若有某些X弱吸引到Xa ，则称这些X的集合为Xa的弱吸引域。

2，强吸引域定义：若Xa是吸引子，对于任意调整次序，网络都可以从状态X演变到Xa，则称X强吸引到Xa；若有某些X强吸引到Xa ，则称这些X的集合为Xa的强吸引域。

吸引子的数量代表联想网络的记忆容量。是指网络在一定的联想出错概率容许下，存储互不干扰的吸引子的数量。

吸引子的数量与吸引域有关，吸引域大的网络联想能力强，容错性好，但吸引子的数量就受到限制。

DHNN网络设计

吸引子的分布是由网络的权值和阈值决定的，设计吸引子的核心就是如何设计一组合适的权值。为了使设计的权值满足要求，权值矩阵应符合下述要求：

（1）为了保证异步方式工作时网络收敛，W应为对称阵；

（2）为了保证同步工作方式时网络收敛，W应为非负定对称阵；

（3）保证给定的样本是网络的吸引子，并且要有一定的吸引域。

连续性的Hopfield网络

CHNN是在DHNN的基础上提出的，它的原理和DHNN相似。由于CHNN是以模拟量作为网络的输入输出量，各神经元采用并行方式工作，所以它在信息处理的并行性、联想性、实时性、分布存储、协同性等方面比DHNN更接近于生物神经网络。我们将从以下几点来讨论CHNN。

1、网络模型

2、CHNN方程的解及稳定性分析

3、关于Hopfield能量函数的几点说明

4、关于CHNN的几点结论

网络模型

CHNN方程的解及稳定性分析

关于Hopfield能量函数的 几点说明

当对反馈网络应用能量函数后，从任一初始状态开始，因为在每次迭代后都能满足E≤0，所以网络的能量将会越来越小，最后趋于稳定点E=0。

Hopfield能量函数的物理意义是：在那些渐进稳定点的吸引域内，离吸引点越远的状态，所具有的能量越大，由于能量函数的单调下降特性，保证状态的运动方向能从远离吸引点处，不断地趋于吸引点，直到达到稳定点。

几点说明：

1）能量函数为反馈网络的重要概念。根据能量函数可以方便的判断系统的稳定性；

2）能量函数与李雅普诺夫函数的区别在于：李氏被限定在大于零的范围内，且要求在零点值为零；

3）Hopfield选择的能量函数，只是保证系统稳定和渐进稳定的充分条件，而不是必要条件，其能量函数也不是唯一的。

关于CHNN的几点结论

1）具有良好的收敛性；

2）具有有限个平衡点；

3）如果平衡点是稳定的，那么它也一定是渐进稳定的；

4）渐进稳定平衡点为其能量函数的局部极小点；

5）能将任意一组希望存储的正交化矢量综合为网络的渐进平衡点；

6）网络以大规模、非线性、连续时间并行方式处理信息，其计算时间就是网络趋于平衡点的时间。